Albegra Lineal

Potencias de números complejos Las potencias enteras de un número complejo no nulo z = reiθ vienen dadas por z = rneinθ (n = 0, +1, -1, +2, -2 ...) Como zn+1 = zzn cuando n=1,2,..., esto se comprueba fácilmente para valores positivos de n por inducción, para el producto de números complejos en forma exponencial. La ecuación es válida también para n = 0 con el convenio de que z0 = 1. Si n = -1, -2..., por otro lado, definimos zn en términos del inverso multiplicativo de z escribiendo  zn = (z-1)m, donde m = -n = 1, 2, ...  Entonces, como la ecuación z = rneinθ es válida para potencias enteras positivas, se sigue de la forma exponencial de z-1 que zn = [1/r ei(-θ)]m = (1/r)m eim(-θ) = rneinθ Por tanto, la ecuación z = rneinθ es válida para toda potencia entera. Nótese que si r = 1, z = rneinθ se convierte en (eiθ)n = eiθn (n = 0, ±1, ±2 ...) Cuando se expresa en la forma (cos θ + i sen θ)n = cos nθ + i sen nθ  que se le conoce como la fórmula de De Moivre....

Forma Polar Sean r y θ coordenadas polares del punto (x, y) que corresponde a un número complejo no nulo z = x + iy. Como x = r cos θ e y = r sen θ z puede ser expresado en forma polar como z = r(cosθ + i senθ). En análisis complejo, no se admiten r negativos; sin embargo, como en el Cálculo, θ tiene infinitos valores posibles, incluyendo valores negativos. Forma exponencial La ecuación eiθ = cos θ + i sen θ que define el simbolo eiθ, o exp (iθ), para todo valor real de θ, se conoce como  fórmula de Euler. Si escribimos un número complejo no nulo en forma polar z = r(cos θ + i sen θ), la fórmula de Euler permite expresar z más compactamente en forma exponencial: z = reiθ

• Valor absoluto El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión:  Si pensamos en z como un punto en el plano; podemos ver, por el teorema de Pitágoras, que el valor absoluto de un número complejo coincide con la distancia euclídea desde el origen del plano.  Si el complejo está escrito en forma polar z = r eiφ, entonces z = r.  Podemos comprobar con facilidad estas tres importantes propiedades del valor absoluto  Para cualquier complejo z y w.  Por definición, la función distancia queda como sigue d(z, w) = z - w y nos provee de un espacio métrico con los complejos gracias al que se puede hablar de límites y continuidad.  La suma, la resta, la multiplicación y la división de complejos son operaciones continuas. Si no se dice lo contrario, se asume que ésta es la métrica usada en los números complejos.

Con los números complejos somos capaces de realizar algunas operaciones fundamentales como lo son, la suma, la resta, multiplicación, división, conjugado y módulo de un número complejo.  Para realizar estas operaciones vamos a considerar que el número complejo Z está representado en su forma rectangular (también llamada forma binómica).

Los números complejos, se expresan a través de la suma de un número real y un número imaginario. Al entero real se le denomina parte real del número complejo y al número imaginario se le llama parte imaginaria del número complejo. Una de las muchas formas de expresar a los números complejos sería: Z=Re(Z)+Im(Z) Algunos ejemplos de esta representación son: Z1 = 3+2i Z2= -5+7i Z3 = -3/4 - 2/7i Donde Re(Z) y Im (Z) pueden ser racional o irracionales. Los números complejos existen para cubrir un aspecto que los números reales no son capaces de solventar. Por ejemplo, a través de los números reales no podemos expresar las raíces pares de un número negativo, por ejemplo: x^2+1=0 Fue entonces que Leonhard Euler en 1777 introdujo el concepto de numero imaginario al asignar la raíz de un número negativo

Los  Números Complejos  surgen al resolver ecuaciones algebraicas en las que hay que calcular raíces cuadradas de números negativos. Estos números complejos se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir, y forman una estructura algebraica de las llamadas cuerpo en matemáticas. El uso de estos tiene funciones bastante importantes en ámbitos de trabajo como en física e ingeniería los números complejos se utilizan para describir circuitos eléctricos y ondas electromagnéticas. Trabajos para llegar a concluir tareas de riesgo y resolver un problema de forma directa como el análisis complejo, que combina los números complejos y los conceptos del cálculo, se ha aplicado a campos tan diversos como la teoría de números o el diseño de alas de avión. El número  i  aparece explícita mente en la ecuación de onda de Schrödinger que es fundamental en la teoría cuántica del átomo. Usaremos z para designar a un número complejo. - Dos nº complejos son iguales si lo son ...