1.2 Operaciones fundamentales con números complejos.

Con los números complejos somos capaces de realizar algunas operaciones fundamentales como lo son, la suma, la resta, multiplicación, división, conjugado y módulo de un número complejo. 
Para realizar estas operaciones vamos a considerar que el número complejo Z está representado en su forma rectangular (también llamada forma binómica).




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2.1 Definición de matriz, notación y orden.

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La matriz anterior se denota también por (ai j ), i =1, ..., m, j =1, ..., n, o simplemente por (ai j ). Los términos horizontales son las filas de la matriz y los verticales son sus columnas. Una matriz con m filas y n columnas se denomina matrizm por n, o matriz m ð n. Las matrices se denotarán usualmente por letras mayúsculas, A, B, ..., y los elementos de las mismas por minúsculas, a, b, ... Ejemplo: CLASES DE MATRICES Según el aspecto de las matrices, éstas pueden clasificarse en: Matrices cuadradas Una matriz cuadrada es la que tiene el mismo número de filas que de columnas. Se dice que una matriz cuadrada n ð n es de orden n y se denomina matriz n cuadrada. Ejemplo: Sean las matrices Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente. Matriz identidad Sea A = (ai j ) una matriz n-cuadrada. La diagonal (o diagonal principal) de A consiste en los elementos a11, a22, ..., ann. La traza de A, escrito trA, es la suma de los elementos diagonales. La matriz n...
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1.5 Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo.

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Potencias de números complejos Las potencias enteras de un número complejo no nulo z = reiθ vienen dadas por z = rneinθ (n = 0, +1, -1, +2, -2 ...) Como zn+1 = zzn cuando n=1,2,..., esto se comprueba fácilmente para valores positivos de n por inducción, para el producto de números complejos en forma exponencial. La ecuación es válida también para n = 0 con el convenio de que z0 = 1. Si n = -1, -2..., por otro lado, definimos zn en términos del inverso multiplicativo de z escribiendo  zn = (z-1)m, donde m = -n = 1, 2, ...  Entonces, como la ecuación z = rneinθ es válida para potencias enteras positivas, se sigue de la forma exponencial de z-1 que zn = [1/r ei(-θ)]m = (1/r)m eim(-θ) = rneinθ Por tanto, la ecuación z = rneinθ es válida para toda potencia entera. Nótese que si r = 1, z = rneinθ se convierte en (eiθ)n = eiθn (n = 0, ±1, ±2 ...) Cuando se expresa en la forma (cos θ + i sen θ)n = cos nθ + i sen nθ  que se le conoce como la fórmula de De Moivre....
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1.3. Potencias de “i”, módulo o valor absoluto de un número complejo

• Valor absoluto El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión:  Si pensamos en z como un punto en el plano; podemos ver, por el teorema de Pitágoras, que el valor absoluto de un número complejo coincide con la distancia euclídea desde el origen del plano.  Si el complejo está escrito en forma polar z = r eiφ, entonces z = r.  Podemos comprobar con facilidad estas tres importantes propiedades del valor absoluto  Para cualquier complejo z y w.  Por definición, la función distancia queda como sigue d(z, w) = z - w y nos provee de un espacio métrico con los complejos gracias al que se puede hablar de límites y continuidad.  La suma, la resta, la multiplicación y la división de complejos son operaciones continuas. Si no se dice lo contrario, se asume que ésta es la métrica usada en los números complejos.
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