1.5 Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo.


Potencias de números complejos
Las potencias enteras de un número complejo no nulo z = reiθ vienen dadas por
z = rneinθ (n = 0, +1, -1, +2, -2 ...)
Como zn+1 = zzn cuando n=1,2,..., esto se comprueba fácilmente para valores
positivos de n por inducción, para el producto de números complejos en forma
exponencial. La ecuación es válida también para n = 0 con el convenio de que
z0 = 1. Si n = -1, -2..., por otro lado, definimos zn en términos del inverso
multiplicativo de z escribiendo 
zn = (z-1)m, donde m = -n = 1, 2, ... 
Entonces, como la ecuación z = rneinθ es válida para potencias enteras positivas, se sigue de la
forma exponencial de z-1 que
zn = [1/r ei(-θ)]m = (1/r)m eim(-θ) = rneinθ
Por tanto, la ecuación z = rneinθ es válida para toda potencia entera.
Nótese que si r = 1, z = rneinθ se convierte en
(eiθ)n = eiθn (n = 0, ±1, ±2 ...)
Cuando se expresa en la forma
(cos θ + i sen θ)n = cos nθ + i sen nθ 
que se le conoce como la fórmula de De Moivre.
El teorema de De Moivre lo empleamos cuando queremos encontrar las enésimas potencias de un número complejo. Para iniciar el procedimiento de deducción de la fórmula, consideremos a dos números complejos 

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